Sherman-Morrison-Woodbury，SMW恒等式
date
Jun 11, 2022
Last edited time
Mar 27, 2023 08:51 AM
status
Published
slug
SMW-Equation
tags
Math
summary
type
Post
Field
Plat
Sherman-Morrison-Woodbury(SMW)G-l恒等式（有时也称为矩阵求逆引理(matrix inversion lemma))。实际上，这个等式是从一个恒等式衍生出来的四个不同的等式。
SMW公式以美国统计学家Jack Sherman, Winifred J. Morrison和Max A. Woodbury的名字命名，但是由英国数学家W. Duncan,美国统计学家L. Guttman和M. Bartlett以及其他人独立提出.
SMW恒等式常被用在矩阵运算中的一些恒等替换以便简化计算或得到所需形式。
证明
对于一个矩阵分别进行LDU和UDL分解：
分解的本质是对矩阵初等变换成对角形式，然后移到等式右边；也可以直接根据矩阵的乘法和分解格式进行求解，不再赘述，可直接搜索LDU分解。
两边同时取逆：
对应项相等有：