SLAM初学-李群与李代数

很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如 整數配備上 加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于 抽象代數 或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。 群與 对称性有密切的联系。例如， 對稱群描述了几何体的对称性：它是保持物體不變的變換的集合。 李群应用于 粒子物理的 标准模型之中；庞加莱群也是李群，能表达 狭义相对论中的对称性； 点群能帮助理解 分子化学中的对称现象 。 群的概念产生自 多項式 方程的研究，由 埃瓦里斯特·伽罗瓦在19世纪30年代開創。在得到來自其他領域如 數論和 幾何学的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代 群論是非常活躍的數學學科，有自己独特的研究方法。為了研究群，數學家發明了 各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如 子群、 商群和 單群。除了它們的抽象性質，群论還研究表示群的各種具體方式（ 群表示论和 计算群论）。對 有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在2004年完成的 有限簡單群分類中達到頂峰。从1980年代中叶以来，将 有限生成群作为几何对象来研究的 几何群论 ，成为了群论中一个特别活跃的分支。 群运算的次序很重要，把元素 a與元素 b结合，所得到的结果不一定与把元素 b與元素 a结合相同；亦即，（交换律）不一定恒成立。满足交换律的群称为交换群（ 阿貝爾群，以 尼尔斯·阿贝尔 命名），不满足交换律的群称为非交换群（非阿贝尔群）。 整数加法群中，對于任何兩個整數都有 （加法的 交換律）成立，因此，整数加法群是交换群。但是 對稱群 中交换律并不总是成立，所以一般的对称群不是交换群。 群G的单位元经常记做1或，这个记号来自 乘法单位元 。对于阿贝尔群，可以把群运算记做+，单位元记做0；这种情况下群称为加法群。单位元也可记做id。 群也常常简记为。可以根据上下文来判断一个符号指的是集合还是群。