SLAM初学-三维空间刚体运动

date
Aug 26, 2021
Last edited time
Sep 5, 2021 10:59 AM
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SLAM初学-三维空间刚体运动
tags
SLAM
summary
刚接触SLAM, 简要介绍了三维空间刚体运动的表示方式
type
Post
origin
https://www.notion.so/lazurite/SLAM-0fa3dbbd7e704608b24123b9f5344cef
Field
Plat

向量的运算复习

  1. 向量的内积
  1. 向量的外积
可以把向量的外积 写成一个矩阵与向量之间的乘法运算 , 表示向量的旋转。
  • 符号 是向量到反对称矩阵的转换符

旋转矩阵

旋转矩阵 描述了旋转前后同一个向量的坐标变换关系，只要旋转是一样的，那么这个旋转矩阵也是一样的。
  • 旋转矩阵是一个正交矩阵，其行列式的值为1. 同样的，行列式的值为1的正交矩阵也是旋转矩阵
  • 旋转矩阵的逆矩阵（即其转置矩阵）描述了一个相反的旋转
  • 欧式变换可以描述为一次旋转变换加上一次平移，则

变换矩阵

使用齐次坐标形式的矩阵重写欧式变换的表达式，将平移和旋转写在同一个矩阵里，将这个矩阵 称为变换矩阵。
  • 齐次坐标: 在三维向量 的末尾添加一个1, 使其编变成四维向量, 称之为齐次坐标 .
  • 齐次坐标使用4个实数来描述一个三维向量, 多了一个自由度. 因此, 在齐次坐标当中, 某个点 的每个分量乘以一个非零常数 后, 任然表示同一个点.
  • 如果不使用齐次坐标来表示对一个点进行两次变换的话, , 而使用齐次坐标的形式的话, 就可以简单的描述为
  • 变换矩阵的逆矩阵 表示与原变换矩阵 相反的变换

Eigen 的使用

矩阵的创建与运算

使用 Eigen 进行坐标变换

旋转向量

对于任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来表示. 因此, 我们可以使用一个向量, 其方向与旋转轴一致, 而长度等于旋转角. 我们把这个向量称为旋转向量.
假设有一个旋转轴为 , 角度为 的旋转, 则其对应的旋转向量为 .

欧拉角

  1. 绕物体的 轴旋转 — 偏航角 yaw
  1. 绕旋转之后的 轴旋转 — 俯仰角 pitch
  1. 绕旋转之后的 轴旋转 — 滚转角 roll
Unity WebGL Player | Objects
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https://andrewfanchina.github.io/UnityLabs/Euler/
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  • 欧拉角的旋转顺序一般是yaw-pitch-roll
  • 欧拉角存在万向锁问题, 即当 pitch = 时, 第一次旋转将和第三次旋转使用同一个轴

四元数

使用四元数能够紧凑的, 无奇异性的表示一个三维旋转

四元数的表示方式

  • 两个互为相反数的四元数代表一个相同的旋转.
  • 虚四元数() 可以表示三维空间中的一个点
  • 单位四元数表示三维空间中的任意一个旋转

旋转向量与四元数的转化

对于旋转向量 , 其对应的四元数为

使用四元数来表示旋转

对于三维空间中的点 , 使用四元数表示这个旋转 , 那么旋转之后的点

相似, 仿射, 射影变换矩阵形式

  1. 相似变换
      2. 相似变换比普通的欧式变换多了一个自由度, 允许物体进行均匀缩放
  1. 仿射变换只要求 是一个可逆矩阵, 而不一定是一个正交矩阵.
  1. 射影变换
      2. 射影变换是对一般的变换
       
 

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