傅里叶变换性质
date
Jun 2, 2022
Last edited time
Jun 2, 2022 11:43 AM
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傅里叶变换性质
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Math
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type
Post
Field
Plat
1. 对偶法则 Principle of Duality
在忽略实际含义的意义下观察傅里叶变换及逆变换公式：
可以得到
为了避免自变量带来的混淆，我们引入以下记号：
于是 (1) 式变为
另一方面考虑 ，根据定义
作代换 得到
于是我们得到了全部的对偶法则：
同时有
对偶法则的推论
- 傅里叶变换的复合以 为周期，或者说傅里叶变换的四阶复合是恒等变换。
- 傅里叶变换得到的函数与原函数奇偶性相同。
- 如果 是实值函数，那么 .
- 如果 是实值偶函数，那么 是实值偶函数； 如果 是实值奇函数，那么 是奇函数，且是纯虚数。
2. 时移原理 the shift theorm
如果 ，那么 .
即：时域时移对应频域产生相移而幅度不变。因为傅里叶变换得到一个复数
（其中 表示相位）乘上 得到
3. 压缩原理或相似原理 the skretch theorm or the similarity theorm
这里 ，类似讨论 的情况得到：
如果 ，那么 .
即：在时域上将信号压缩会使得频域上信号延展，时域上信号延展会使得频域上信号集中。
也就是说：一个信号不可能在时域和频域同时被压缩。
注意！由于傅里叶变换得到的是一个复数，所以这里所谓傅里叶变换的图像指模的图像。
4. 导数定理 the derivative theorem
即 ，归纳得到
同时我们有
即
于是
进而
总结一下即是
5.Parseval 等式：
证明：
我们实际上可以证明 ，即
因为
所以
进而
考虑 的情形即得 Parseval 等式：