什么是匈牙利算法
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May 1, 2022
Last edited time
May 1, 2022 03:32 PM
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什么是匈牙利算法
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Algorithm
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type
Post
origin
Field
Plat
二分图
二分图：又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设 是一个无向图，如果顶点 可分割为两个互不相交的子集 ，并且图中的每条边所关联的两个顶点 和 分别属于这两个不同的顶点集 ，则称图 G 为一个二分图。
简单来说，如果图中所有顶点可以被分为两个集合，图中所有的边的头和尾不属于同一个顶点集合，而是跨越两个集合，则这个图是一个二分图。
例如：图 1.1 所示的图，无论如何划分顶点集合，也不能保证所有边的头和尾隶属于不同集合，因此，图 1.1 所示的图不是二分图。
例如：图 1.2 所示的无向图：
将顶点 作为集合 ，将 作为集合 ，将图 1.2 转化为图 1.3 所示：
可以看出，图中顶点可以划分为 两个集合，而任意一条边的头和尾又分别隶属于集合 和集合 ，因此，此图为二分图。
匹配
匹配：在图论中，一个匹配（matching）是指一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
例如：图 2.1 中红色的边，可以为图 1.3 所示图的一个匹配。
最大匹配
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 3.1 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突），但并非每个图都存在完美匹配。
交替路径
交替路径：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边… 形成的路径称为交替路径。
增广路径
增广路径：从一个未匹配点出发，走交替路径，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路径（agumenting path）。
- 增广路径性质：
- 的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于 ，因为两个端点分属两个集合，且未匹配。
- 经过取反操作可以得到一个更大的匹配 。
- 为 的最大匹配当且仅当不存在相对于 的增广路径。
7 匈牙利算法
匈牙利算法：利用增广路径求二分图的最大匹配算法称作匈牙利算法。（匈牙利数学家 Edmonds 于 1965 年提出）。
基本思想：通过寻找增广路径，把增广路径中的匹配边和非匹配边的相互交换，这样就会多出一条匹配边，直到找不到增广路径为止。
例如：以图 2.1 所示的二分图为例，使用匈牙利算法求解图的最大匹配。
（1）从顶点 出发，按照交替路径前进，第一个非匹配边为，到达顶点 ， 为非匹配点，构成增广路径。令 为匹配边，顶点 ， 为匹配顶点。
（2）从顶点 出发，第一非匹配边为 ，到达顶点 ，选择匹配边到达 ，选择非匹配边， 为非匹配点，找到一条增广路径。
（3）交换增广路径中的匹配边与非匹配边，得到如下匹配。
（4）从顶点 出发，第一非匹配边为 ，到达顶点 ，然后按照交替路径前进，到达顶点 ，无法继续前进。
（5）从顶点 出发，选择第二条非匹配边。
（6）从顶点 出发，选择非匹配边，到达顶点 ，选择匹配边，到达顶点 a，选择非匹配边到达顶点 ，选择匹配边，到达顶部 ，没有可以选择的边，且没有找到增广路径。
（7）继续从顶点 出发，选择非匹配边，找到增广路径，将边变为匹配边，算法结束。
8 结语
匈牙利算法多用于指派问题中，例如任务匹配问题。通过转化为二分图的形式，求解最大匹配，保证实现最优分配。